ツールバーのアイコンからTwitterのツイートを検索、
確認できるGoogle Chromeの拡張「TwitterWatch」
をインストールして使ってみました。
TwitterWatch - Real Time Twitter Update
https://chrome.google.com/webstore/detail/febjffjimfjehaekdkniojehjngaeajfインストールするとアイコンが表示されます。

ポップアップの検索窓で検索すると

ツイートが表示されました。

ユーザー名をクリックするとGoogle Chromeの新しいタブ
で、そのユーザーのツイートが表示されます。
「Add new tab」ボタンをクリックして新しいタブを表示

別のワードで検索出来ます。

タブは「Stop this search」ボタンをクリックして
閉じることができます。

新しいツイートがあるとタブやアイコンにツイート数が
表示されます。

ログインしてリツイート、リプライ出来るようです。
オプションで既読になる時間を設定出来ます。

ブラウザを再起動しても「Stop this search」ボタンで
タブを閉じなければ検索ワードを保持します。

